OUI c'est de cette relation qu'il faut partir mais avant montrer que le potentiel créé par les 2 charges qui constituent le dipôle est
V = (1/4.Pi.epsilon0)*( (p.cos(teta))/(r^2) ) où teta est l'angle entre la direction du Vect(p) et la direction de r = OM
mais d'après la déf. du produit scalaire , V = (1/4.Pi.epsilon0)*( (Vect(p).Vect(ur))/(r^2) )
où Vect(ur), comme Vect(uteta) ou Vect(uPhi), est 1 vecteur unitaire.
Vect(ur), Vect(uteta) et Vect(uPhi) sont 3 vecteurs orthogonaux les uns aux autres qui interviennent en coordonnées sphériques
avec Vect(ur) = Vect(r)/r on peut aussi écrire V = (1/4.Pi.epsilon0)*( (Vect(p).Vect(r))/(r^3) )
Ensuite en utilisant votre relation à savoir Vect(E) = -Vect(grad)(V) et le gradient d'un produit de 2 grandeurs scalaires, vous trouvez que
Vect(E) = -(1/4.Pi.epsilon0)*( ((1/(r^3)).Vect(grad)(Vect(p).Vect(r)) + Vect(p).Vect(r).Vect(grad)(1/(r^3)) )
Enfin,
a) à partir de l'expression du gradient d'un prd scalaire de 2 vecteurs, vous trouvez que
Vect(grad)( (Vect(p).Vect(r))/(r^3) ) = Vect(grad)(p.cos(teta).r) = p.cos(teta).Vect(grad)(r) + p.r.Vect(grad)(cos(teta)) + cos(teta).r.Vect(grad)(p)
or
Vect(grad)(r) = gradient de r = Vect(ur)
Vect(grad)(cos(teta)) = -(1/r).sin(teta).Vect(uteta)
et Vect(grad)(p) = 0
donc Vect(grad)(p.cos(teta).r) = p.cos(teta).Vect(ur) - p.sin(teta).uteta = Vect(p)
b) Vect(grad)( 1/(r^3) )= -3.( Vect(r)/(r^5) )
donc Vect(E) = -(1/4.Pi.epsilon0)*( (1/(r^3)).Vect(p) - 3.(Vect(p).Vect(r)).( Vect(r)/(r^5) ) ) est l'expression du champ électrique écrite de façon intrinsèque
P.S. : J'ai repris votre notation d'un vecteur donc j'espère que vous vous y retrouverez dans ma démo. !